En mathématiques, la méthode axiomatique est universellement utilisée. Ainsi, en filière scientifique, il est important de connaitre le mot “axiome”. Au début, cette méthode consiste à énoncer des “vérités vraies”, qu’on appellera des “axiomes” ou des “postulats”. Ces affirmations sont admises sans démonstration , puis ensuite,  elle consiste à tirer les conséquences logiques de ces axiomes (qu’on appellera aussi méthode “hypothético-déductive”). 

Étymologie:

Le mot “axiome” est une reproduction française du mot grec axiôma qui veut dire proposition, et vient lui- même de axioô, signifiant penser, juger. Un axiome est une vérité générale, indémontrable, et évidente par elle- même. Dans l’usage ordinaire, on applique de préférence ce nom aux vérités qui servent aux démonstrations mathématiques. C’est pour cela que les mathématiciens donnèrent le nom d’axiomes aux propositions fondamentales de l’arithmétique et de la géométrie. Aristote, lui, agrandit la signification du mot à toutes les propositions évidentes par elles- mêmes et nécessaires pour apprendre quelques sciences.

Définitions:

Dictionnaire LAROUSSE de 1852

-Dans la logique aristotélicienne, point de départ d’un raisonnement considéré comme non démontrable, évident.

-Énoncé initial d’une théorie axiomatisée, qui sert de point de départ aux démonstrations dans cette théorie.

-Énoncé indiscuté, admis comme base d’une construction intellectuelle, sociale, morale, etc. ; vérité admise par tous sans discussion.

Dictionnaire HACEHETTE de 1998

-Proposition générale reçue et acceptée comme vraie sans démonstration.

Dictionnaire CNRTL de 2005

-Énoncé répondant à trois critères fondamentaux : être évident, non démontrable, universel.

– Énoncé, proposition posés à la base d’un système hypothético-déductif ou plus généralement élément d’une axiomatique.

– Formule servant de thèse ou théorème initial à un système syntaxique.

-Énoncé admis comme base ou principe d’une construction scientifique.

–Vérité ou assertion admise par tous sans discussion.

Chaque dictionnaire définit l’axiome comme une proposition et/ou un énoncé reçu et accepté comme vrai. Ainsi dans le dictionnaire CNRTL, l’axiome est caractérisé par trois critères fondamentaux (être évident, non démontrable, universel). L’axiome est une vérité admise sans discussion. De plus, l’axiome est la base d’une construction scientifique. Mais dans le dictionnaire LAROUSSE, l’axiome est aussi expliqué comme le point de départ d’un raisonnement  indubitable dans la logique aristotélicienne ou même la base d’une construction intellectuelle, sociale, morale.

Texte: extrait de L’Éducation morale de DURKHEIM

Dans cet extrait de L’Éducation morale de DURKHEIM de 1903, le mot “axiome” est exprimé. Ainsi dans cet extrait, selon Émile DURKHEIM, l’axiome fondamental de notre morale est que l’être humain est sacré et a droit au respect. Notre morale est ainsi caractérisée par le fait que nous naissons avec une morale déjà construite et qu’il serait irrespectueux d’essayer de la changer. Il s’agit d’une vérité évidente, qui ne peut être démontrée. Nous construisons très peu notre morale. Ainsi, notre morale change très faiblement de notre naissance jusqu’à notre décès car tout commandement qui nous serait imposé serait ressenti comme une violence faite à notre encontre. La morale résulte d’une multitude d’opinions individuelles qui au fil du temps transforment la morale. A l’échelle individuelle, la morale évolue très peu. Ainsi les normes évoluent très lentement et l’existence d’un individu n’est pas assez longue pour pouvoir constater cette évolution.

Synonymes:

• postulat : est un énoncé supposé être un théorème de la théorie et qui peut- être un indécidable de cette théorie alors que axiome  est un énoncé indépendant des autres.
• hypothèse : proposition qui peut être vrai ou fausse qui va être démontrée pour la valider ou non, alors que axiome est une proposition vraie sans besoin de démonstration.

Antonymes:

• approximation : détermination approchée, estimation par à-peu-près.
• conclusion : conséquence déduite d’un raisonnement, d’une observation.

Interprétation personnelle:

L’axiome est une proposition qui est considérée comme évidente, elle est admise sans démonstration. Ainsi, nous pouvons trouver des axiomes en mathématiques, dans le domaine social et dans la morale. Les coutumes, les maximes, les proverbes, les principes font partie intégrante de chaque individu et nul ne conteste leur légitimité. Il n’est pas  toujours nécessaire de chercher l’origine de quelque chose, de savoir pourquoi cela fonctionne comme ça. Si nous devions tout expliquer, cela serait sans fin. Il est impossible de toujours tout contester.

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date: 18 novembre 2018

Cette image représente l’axiome du choix. En mathématiques, l’axiome du choix (AC) est un axiome de la théorie des ensembles qui affirme la possibilité de construire des ensembles en répétant une infinité de fois une action de choix. Ces jarres représentent 4 ensembles non vides. Pour tout ensemble d’ensembles non vides c’est à dire les jarres,  il existe une fonction qui associe à chacune de ces jarres un élément contenu dans cette jarre. Nous voyons 4 jarres, avec chacune des points gris et un point de couleur différente. Ainsi, le résultat de cette fonction est le point de couleur différente.

Florine MAHE–BRIAND